🔹 ۱. سطوح نمایان = سطوح رنگی — بقیه بیرنگ!
تصور کن یه مکعب بزرگ رو از مکعبهای کوچک درست کردی و بعد کل سطح بیرونی رو رنگ زدی.
فقط مکعبهایی که حداقل یک وجهشون با سطح بیرونی تماس داره، رنگ میگیرن! 🎨
۱ گام اول: ببین مکعب کوچک کجای مکعب بزرگ قرار داره.
۲ گام دوم: اگه روی سطح بیرونی باشه ← رنگ داره. اگه کاملاً داخل باشه ← بیرنگ!
۳ گام سوم: تعداد وجوه رنگی = تعداد وجههایی که با سطح بیرونی تماس دارن.
🧪 مثال: مکعب ۳×۳×۳ — کدوم مکعبها بیرنگ هستن؟
• فقط ۱ مکعب دقیقاً در مرکز قرار داره و هیچ وجهش دیده نمیشه
• اون ۱ مکعب وسطی کاملاً بیرنگ است ✅
• ۲۶ مکعب دیگه حداقل یک وجه رنگی دارن!
🔸 ۲. دستهبندی طلایی — ۴ نوع مکعب داریم!
مکعبها بر اساس موقعیتشون به ۴ دسته تقسیم میشن.
این فرمولها رو حفظ کن — همه سوالات مساحت رنگی با همینا حل میشن! 🎯
| دسته | موقعیت | تعداد وجوه رنگی | فرمول تعداد |
|---|
| 🟥 گوشهها |
۸ گوشه مکعب بزرگ |
۳ وجه |
همیشه ۸ عدد |
| 🟧 لبهها |
روی لبه، بین دو گوشه |
۲ وجه |
۱۲ × (n − ۲) |
| 🟨 وسط وجهها |
وسط هر وجه، نه لبه نه گوشه |
۱ وجه |
۶ × (n − ۲)² |
| ⬜ داخلی |
کاملاً داخل، دیده نمیشه |
بدون رنگ |
(n − ۲)³ |
🧪 مثال ۱: مکعب ۴×۴×۴ (n=۴) — هر دسته چند تاست؟
• گوشه: ۸ | لبه: ۱۲×(۴−۲) = ۲۴
• وسط وجه: ۶×(۴−۲)² = ۶×۴ = ۲۴ | داخلی: (۴−۲)³ = ۸
• چک: ۸+۲۴+۲۴+۸ = ۶۴ = ۴³ ✅
🧪 مثال ۲: مکعب ۳×۳×۳ (n=۳) — چندتا ۱ وجهی داریم؟
• ۶×(۳−۲)² = ۶×۱ = ۶ مکعب ✅ (وسط هر ۶ وجه)
🔹 ۳. مساحت کل سطح رنگی — فرمول طلایی!
مساحت کل سطح رنگی یعنی همه سطح بیرونی مکعب بزرگ.
مهم نیست داخلش چه خبره — فقط ۶ وجه بیرونی رو حساب کن!
مساحت کل = ۶ × n² × a²
(n = تعداد مکعبها در هر ضلع، a = اندازه هر وجه)
۱ گام اول: تعداد مکعبهای هر ضلع (n) رو پیدا کن.
۲ گام دوم: مساحت یک وجه مکعب کوچک = a²
۳ گام سوم: مساحت کل = ۶ × n² × a²
🧪 مثال: مکعب ۳×۳×۳ با مکعبهای ۱×۱. مساحت سطح رنگی؟
• n=۳ , a=۱
• مساحت کل = ۶ × ۳² × ۱² = ۶ × ۹ = ۵۴ واحد مربع ✅
🧪 مثال ۲: مکعب ۵×۵×۵ با مکعبهای ۲×۲. مساحت سطح رنگی؟
• n=۵ , a=۲
• مساحت کل = ۶ × ۲۵ × ۴ = ۶۰۰ واحد مربع ✅
🔸 ۴. سطوح پنهان — چسبیدهها رنگ نمیشن!
هرجا دو مکعب به هم چسبیدن، اون سطح پنهان و بیرنگ میمونه!
این توی شکلهای مرکب خیلی مهمه — سطح تماس = بدون رنگ 🚫
۱ گام اول: ببین کدوم مکعبها به هم چسبیدن.
۲ گام دوم: هر سطح تماس = ۲ وجه که رنگ نمیشن (مال هر دو مکعب)!
۳ گام سوم: این سطوح رو از مساحت کل کم کن.
🧪 مثال: دو مکعب ۱×۱×۱ رو میچسبونیم به هم. چند وجه رنگی دارن؟
• هر مکعب ۶ وجه داره ← ۲ × ۶ = ۱۲ وجه
• سطح تماس = ۱ وجه از هر مکعب ← ۲ وجه پنهان
• وجوه رنگی = ۱۲ − ۲ = ۱۰ وجه رنگی ✅
🔹 ۵. تکنیکهای تستزنی — ۴۰ ثانیهای جواب بده!
با این تکنیکها سوالات سطح رنگی رو سریع حل کن ⚡
۱ اول دسته رو تشخیص بده: گوشه؟ لبه؟ وسط؟ داخل؟ ← فرمول مخصوصش رو بزن.
۲ چک کن جمع کل = n³: ۸ + ۱۲(n−۲) + ۶(n−۲)² + (n−۲)³ = n³
۳ حذف گزینههای ناممکن: تعداد وجوه رنگی نمیتونه از ۶n² بیشتر باشه!
🧪 تست ۳۰ ثانیهای: مکعب ۳×۳ — چند مکعب دقیقاً ۲ وجه رنگی دارن؟
• فرمول لبه: ۱۲ × (n−۲) = ۱۲ × ۱ = ۱۲ مکعب ✅
🧪 تست ۳۰ ثانیهای ۲: مکعب ۴×۴ — چند مکعب بیرنگ داریم؟
• فرمول داخلی: (n−۲)³ = ۲³ = ۸ مکعب ✅
🧪 تست ۳۰ ثانیهای ۳: مکعب ۵×۵ — مساحت کل سطح رنگی؟ (a=۱)
• ۶ × ۵² × ۱ = ۶ × ۲۵ = ۱۵۰ واحد مربع ✅
