🔹 ۱. فرمول طلایی: از مجموع به میانگین برو و برعکس
این فرمول یعنی چی؟
توی همه مسائل میانگین، یه فرمول جادویی هست که باید حفظش کنی:
هر وقت میانگین داری، میتونی مجموع رو پیدا کنی و برعکس! ✨
مجموع = میانگین × تعداد
۱ گام اول: همیشه اول مجموع کل رو پیدا کن.
مثال: ۵ عدد با میانگین ۱۲ ← مجموع = ۱۲ × ۵ = ۶۰
۲ گام دوم: هر تغییری رو روی مجموع اعمال کن.
اگه عددی اضافه بشه: مجموع جدید = مجموع قبلی + عدد جدید
اگه عددی کم بشه: مجموع جدید = مجموع قبلی − عدد حذفشده
۳ گام سوم: مجموع جدید رو بر تعداد جدید تقسیم کن.
میانگین جدید = مجموع جدید ÷ تعداد جدید
🧪 مثال ۱: ۵ عدد با میانگین ۱۲ داریم. عدد ۱۵ رو اضافه میکنیم. میانگین جدید چنده؟
گام ۱: مجموع = ۱۲ × ۵ = ۶۰
گام ۲: مجموع جدید = ۶۰ + ۱۵ = ۷۵
گام ۳: تعداد جدید = ۵ + ۱ = ۶
میانگین جدید = ۷۵ ÷ ۶ = ۱۲.۵ ✅
🧪 مثال ۲: میانگین نمرات ۴ درس علی ۱۷ شده. اگه درس پنجم رو ۲۰ بگیره، میانگینش چند میشه؟
مجموع ۴ درس: ۱۷ × ۴ = ۶۸
مجموع جدید: ۶۸ + ۲۰ = ۸۸
میانگین جدید: ۸۸ ÷ ۵ = ۱۷.۶ ✅
🔸 ۲. تغییر میانگین با داده جدید — عدد مجهول رو پیدا کن
این تکنیک کجا به درد میخوره؟
وقتی میانگین قبل و بعد رو داری، ولی عدد جدید رو نمیدونی!
مثلاً: «یه عدد اضافه کردیم، میانگین شد فلان. اون عدد چیه؟» 🤔
۱ گام اول: مجموع قبلی رو حساب کن.
مجموع قبلی = میانگین قبلی × تعداد قبلی
۲ گام دوم: مجموع جدید رو حساب کن.
مجموع جدید = میانگین جدید × تعداد جدید (تعداد قبلی + ۱)
۳ گام سوم: عدد جدید = مجموع جدید − مجموع قبلی
تفاضل این دو تا، همون عدد جدیدیست که اضافه شده! 🎯
🧪 مثال ۱: میانگین ۴ عدد ۱۵ هست. یه عدد اضافه میکنیم، میانگین جدید میشه ۱۶. عدد پنجم چنده؟
مجموع ۴ عدد: ۱۵ × ۴ = ۶۰
مجموع ۵ عدد: ۱۶ × ۵ = ۸۰
عدد پنجم: ۸۰ − ۶۰ = ۲۰ ✅
🧪 مثال ۲: میانگین قد ۳ دانشآموز ۱۴۰ سانتیمتره. یه نفر دیگه اضافه میشه، میانگین میشه ۱۴۲. قد نفر چهارم چنده؟
مجموع ۳ نفر: ۱۴۰ × ۳ = ۴۲۰
مجموع ۴ نفر: ۱۴۲ × ۴ = ۵۶۸
قد نفر چهارم: ۵۶۸ − ۴۲۰ = ۱۴۸ سانتیمتر ✅
🔹 ۳. میانگین وزنی — هر داده وزن خودش رو داره
میانگین وزنی یعنی چی؟
بعضی وقتا همه دادهها به یه اندازه مهم نیستن!
مثلاً: نمره ریاضی ضریب ۴ داره، ولی هنر ضریب ۱ 📚
یا ۲ کیلو آبلیمو ۳۰٪ با ۳ کیلو ۴۰٪ مخلوط میکنیم 🥤
میانگین وزنی = (مجموعِ وزن × مقدار) ÷ مجموع وزنها
۱ گام اول: هر داده رو در وزنش ضرب کن.
برای مخلوط: حجم × غلظت | برای نمرات: نمره × ضریب
۲ گام دوم: همه ضربها رو با هم جمع کن. این میشه مجموع وزنی.
۳ گام سوم: مجموع وزنی رو بر مجموع وزنها تقسیم کن.
🧪 مثال ۱ (مخلوط): ۲ کیلو آبلیمو با غلظت ۳۰٪ و ۳ کیلو با غلظت ۴۰٪ رو مخلوط میکنیم. غلظت نهایی چنده؟
مجموع وزنی: (۲ × ۳۰) + (۳ × ۴۰) = ۶۰ + ۱۲۰ = ۱۸۰
مجموع وزنها: ۲ + ۳ = ۵
غلظت نهایی: ۱۸۰ ÷ ۵ = ۳۶٪ ✅
🧪 مثال ۲ (نمرات با ضریب): نمره ریاضی ۱۸ (ضریب ۴)، علوم ۲۰ (ضریب ۳)، هنر ۱۷ (ضریب ۱). معدل چند؟
مجموع وزنی: (۱۸×۴) + (۲۰×۳) + (۱۷×۱) = ۷۲ + ۶۰ + ۱۷ = ۱۴۹
مجموع ضرایب: ۴ + ۳ + ۱ = ۸
معدل: ۱۴۹ ÷ ۸ = ۱۸.۶۲۵ ✅
🔸 ۴. میانگین اعداد متوالی — عدد وسطی رو پیدا کن
اعداد متوالی یعنی چی؟
اعدادی که پشت سر هم میان، مثل: ۱, ۲, ۳, ۴, ۵ یا ۱۰, ۱۱, ۱۲, ۱۳
میانگینشون همون عدد وسطیه! 🎯
۱ گام اول: ببین تعداد اعداد فرده یا زوج.
اگه فرد باشه (مثل ۵ تا عدد): میانگین = دقیقاً عدد وسطی
اگه زوج باشه (مثل ۴ تا عدد): میانگین = میانگین دو عدد وسطی
۲ گام دوم: مجموع رو با فرمول طلایی پیدا کن.
مجموع = میانگین (عدد وسطی) × تعداد
🧪 مثال ۱ (تعداد فرد): ۵ عدد متوالی: ۱, ۲, ۳, ۴, ۵
میانگین = عدد وسطی = ۳
مجموع = ۳ × ۵ = ۱۵
چک: ۱+۲+۳+۴+۵ = ۱۵ ✅
🧪 مثال ۲ (تعداد زوج): ۴ عدد متوالی: ۱, ۲, ۳, ۴
میانگین دو عدد وسطی: (۲+۳) ÷ ۲ = ۲.۵
مجموع = ۲.۵ × ۴ = ۱۰
چک: ۱+۲+۳+۴ = ۱۰ ✅
🧪 مثال ۳: مجموع ۷ عدد متوالی که عدد وسطیشون ۲۰ باشه چنده؟
میانگین = ۲۰ | تعداد = ۷
مجموع = ۲۰ × ۷ = ۱۴۰ ✅
🔹 ۵. اصلاح اشتباه در محاسبه — عدد رو درست کن
این مسئله یعنی چی؟
یه جا اشتباه شده! مثلاً معلم نمره رو اشتباه وارد کرده، یا یه عدد رو جا انداختن.
باید میانگین صحیح رو دوباره حساب کنیم 🔄
۱ گام اول: مجموع اشتباه رو حساب کن.
مجموع اشتباه = میانگین اشتباه × تعداد
۲ گام دوم: مجموع صحیح رو درست کن.
مجموع صحیح = مجموع اشتباه − عدد اشتباه + عدد صحیح
۳ گام سوم: میانگین صحیح رو حساب کن.
میانگین صحیح = مجموع صحیح ÷ تعداد
🧪 مثال ۱: معلم میانگین ۱۰ نمره رو ۱۵ حساب کرده، اما فهمیده یه نمره رو ۱۲ نوشته که در واقع ۲۱ بوده. میانگین صحیح چنده؟
مجموع اشتباه: ۱۵ × ۱۰ = ۱۵۰
مجموع صحیح: ۱۵۰ − ۱۲ + ۲۱ = ۱۵۹
میانگین صحیح: ۱۵۹ ÷ ۱۰ = ۱۵.۹ ✅
🧪 مثال ۲ (جا افتادن عدد): میانگین ۸ عدد ۱۴ شده. فهمیدیم یه عدد ۱۰ رو اصلاً حساب نکردن! میانگین صحیح چنده؟
مجموع اشتباه (۸ عدد): ۱۴ × ۸ = ۱۱۲
تعداد واقعی: ۸ + ۱ = ۹
مجموع صحیح: ۱۱۲ + ۱۰ = ۱۲۲
میانگین صحیح: ۱۲۲ ÷ ۹ ≈ ۱۳.۵۶ ✅
