🔹 ۱. تناسب مستقیم — روش طرفین وسطین
تناسب مستقیم یعنی چی؟
هر وقت دو چیز با هم زیاد و کم بشن، میگیم تناسب مستقیم دارن.
مثلاً: هرچی کیلو بیشتر ← پول بیشتری میدیم 🛒
۱ گام اول: دو نسبت رو مثل کسر بنویس و مساوی بذار.
اگر a به b مثل c به d باشه، مینویسیم:
ab
=
cd
۲ گام دوم: طرفین وسطین کن!
صورت اولی × مخرج دومی = مخرج اولی × صورت دومی
a × d = b × c
۳ گام سوم: عددی که نمیدونی رو با تقسیم پیدا کن.
کافیه سه تا عدد داشته باشی تا چهارمی رو پیدا کنی! 🎯
🧪 مثال ۱: ۳ کیلو سیب ۴۵۰۰ تومان. ۵ کیلو سیب چند تومان؟
نسبت اول: ۳۴۵۰۰ = نسبت دوم: ۵؟
طرفین وسطین: ۳ × ؟ = ۴۵۰۰ × ۵
۳ × ؟ = ۲۲۵۰۰
؟ = ۲۲۵۰۰ ÷ ۳ = ۷۵۰۰ تومان ✅
🧪 مثال ۲: ماشینی در ۲ ساعت ۱۲۰ کیلومتر میره. در ۵ ساعت چند کیلومتر میره؟
نسبت اول: ۲۱۲۰ = نسبت دوم: ۵؟
طرفین وسطین: ۲ × ؟ = ۱۲۰ × ۵
۲ × ؟ = ۶۰۰
؟ = ۶۰۰ ÷ ۲ = ۳۰۰ کیلومتر ✅
🔸 ۲. تناسب معکوس — حاصلضرب همیشه ثابته
تناسب معکوس یعنی چی؟
هر وقت یکی زیاد بشه، اون یکی کم بشه، میگیم تناسب معکوس دارن.
مثلاً: هرچی کارگر بیشتر ← کار زودتر تموم میشه 👷♂️
۱ گام اول: حاصلضرب دو عدد رو حساب کن (عدد ثابت).
تعداد × زمان = یه عدد ثابت
کارگر × روز = عدد ثابت
۲ گام دوم: عدد ثابت رو بر عدد جدید تقسیم کن.
عدد ثابت ÷ عدد دادهشده = جواب مجهول
۳ گام سوم: دقت کن جوابت منطقی باشه!
اگه کارگر بیشتر بشه، روز باید کمتر بشه (و برعکس) 🔄
🧪 مثال ۱: ۴ کارگر یه کار رو در ۹ روز انجام میدن. ۶ کارگر همون کار رو در چند روز انجام میدن؟
عدد ثابت: ۴ × ۹ = ۳۶
حالا با ۶ کارگر: ۳۶ ÷ ۶ = ۶ روز ✅
منطقیه؟ آره! کارگر بیشتر ← روز کمتر 👍
🧪 مثال ۲: ۳ لوله یه استخر رو در ۸ ساعت پر میکنن. ۴ لوله در چند ساعت پر میکنن؟
عدد ثابت: ۳ × ۸ = ۲۴
با ۴ لوله: ۲۴ ÷ ۴ = ۶ ساعت ✅
منطقیه؟ آره! لوله بیشتر ← زمان کمتر 👍
🔹 ۳. کار مشترک — کسرها رو جمع کن
کار مشترک یعنی چی؟
وقتی دو نفر با هم یه کار رو انجام میدن، میخوایم ببینیم با هم چند روزه تموم میکنن.
مثلاً: علی ۶ روزه، حسن ۱۲ روزه — با هم چند روزه؟ 🤝
۱ گام اول: ببین هر نفر تو
یک روز چقدر کار انجام میده.
علی کل کار رو ۶ روزه انجام میده، پس تو یک روز یکششم کار رو انجام میده.
علی در یک روز =
۱۶
حسن کل کار رو ۱۲ روزه انجام میده، پس تو یک روز یکدوازدهم.
حسن در یک روز =
۱۱۲
۲ گام دوم: کسرها رو با هم جمع کن.
کار یک روز با هم = کار علی + کار حسن
۱۶
+
۱۱۲
=
۲۱۲
+
۱۱۲
=
۳۱۲
=
۱۴
۳ گام سوم: معکوس کن! اگه ۱۴ کار در یک روز انجام بشه، کل کار ۴ روز طول میکشه.
زمان مشترک = معکوس کسر = ۴ روز 🎉
🧪 مثال دوم: مریم یه کار رو ۴ روزه و زهرا ۸ روزه انجام میده. با هم چند روزه؟
مریم در یک روز: ۱۴ — زهرا در یک روز: ۱۸
جمع: ۱۴+۱۸=۲۸+۱۸=۳۸
معکوس: ۸ ÷ ۳ ≈ ۲.۶۷ روز (حدود ۲ روز و ۱۶ ساعت) ✅
🔸 ۴. لولههای پرکننده و تخلیهکننده
مسئله لوله و استخر یعنی چی؟
یه استخر داریم که یه لوله آب میریزه توش، یه لوله آب رو خالی میکنه.
میخوایم ببینیم استخر چه مدت دیگه پر یا خالی میشه 🚰
۱ گام اول: لولهها رو بشناس!
🟢 لولهای که پر میکنه = کسر مثبت (+)
🔴 لولهای که خالی میکنه = کسر منفی (−)
۲ گام دوم: کسر هر لوله رو بنویس (یک بر زمان).
لوله A در ۴ ساعت پر میکنه ← کسرش: ۱۴ +
لوله B در ۶ ساعت خالی میکنه ← کسرش: ۱۶ −
۳ گام سوم: کسرها رو با هم جمع جبری کن.
۱۴
−
۱۶
=
۳۱۲
−
۲۱۲
=
۱۱۲
۴ گام چهارم: معکوس کن! اگه جواب مثبت باشه یعنی استخر پر میشه.
معکوس ۱۱۲ = ۱۲ ساعت طول میکشه تا استخر پر بشه ✅
🧪 مثال دوم: لوله A در ۳ ساعت پر میکنه، لوله B در ۵ ساعت خالی میکنه. استخر خالی در چند ساعت پر میشه؟
A: ۱۳+ , B: ۱۵-
جمع: ۱۳−۱۵=۵۱۵−۳۱۵=۲۱۵
معکوس: ۱۵ ÷ ۲ = ۷.۵ ساعت ✅
⚠️ نکته مهم: اگه قدرت تخلیه بیشتر از پر کردن باشه، جواب منفی میشه یعنی استخر هیچوقت پر نمیشه!
🔹 ۵. اضافه شدن وسط کار — مرحلهای حل کن
این مسئله یعنی چی؟
یه نفر کار رو شروع میکنه، بعد یکی دیگه وسط کار اضافه میشه.
باید ببینیم کل کار چند روز طول میکشه 🤔
۱ گام اول: ببین نفر اول تو روزهای تنهایی چقدر کار انجام داده.
علی کل کار رو ۱۰ روزه انجام میده ← تو ۲ روز:
۲۱۰ = ۱۵ 👈 ۲۰٪ کار انجام شده
۲ گام دوم: چقدر کار مونده؟ از کل کار کم کن.
کار باقیمانده = ۱ − ۱۵ = ۴۵ (۸۰٪ کار مونده)
۳ گام سوم: حالا با نیروی جدید، کار باقیمانده چند روز طول میکشه؟
کار مشترک در یک روز:
۱۱۰+۱۱۵=۳۳۰+۲۳۰=۵۳۰=۱۶
زمان برای ۴۵ کار:
۴۵÷۱۶=۴۵×۶۱=۲۴۵ = ۴.۸ روز
۴ گام چهارم: کل زمان رو حساب کن.
کل = روزهای تنهایی + روزهای مشترک = ۲ + ۴.۸ = ۶.۸ روز (حدود ۷ روز) ✅
🧪 مثال دوم: حسن ۱۲ روزه، حسین ۱۸ روزه. حسن ۳ روز تنها کار میکنه، بعد حسین اضافه میشه. کل کار چند روز طول میکشه؟
کار حسن در ۳ روز: ۳۱۲=۱۴ کار
کار باقیمانده: ۱ − ۱۴ = ۳۴ کار
کار مشترک در یک روز: ۱۱۲+۱۱۸=۳۳۶+۲۳۶=۵۳۶
زمان کار باقیمانده: ۳۴÷۵۳۶=۳۴×۳۶۵=۱۰۸۲۰ = ۵.۴ روز
کل زمان: ۳ + ۵.۴ = ۸.۴ روز ✅
